長距離ドライバーの方へ

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(仮称)鈴木さんのケース

私は運送会社に勤務しており,大型トラックで長距離運送を担当しています。
月給は月24万円のほか,長距離手当として毎月6万円をもらっています。
早朝から深夜まで働いており,酷いときには朝の4時から翌日のお昼頃まで運転しているときもあります。
勤務時間はデジタルタコグラフで確認することができるのですが,先日調べてみると,毎月350時間も働いていました。
ですが,会社側は長距離手当として毎月6万円を払っているのだから,残業代を支払う必要はないと言っています。
また,会社側は,長時間運転していると言っても,荷物の運搬の時間前後はパーキングエリアで休んだりできるのだから,すべて労働時間になるわけではないとも言っています。
私は残業代を請求できないのでしょうか?